战力体系(2 / 3)

不可描述基数：基数K称为∏nm-indescribable如果对于每个∏m命题(φ。

并且设置A?∨κ与(Vκ+n，∈，A)╞φ存在一个α＜κ与(Vα+n，∈，A∩Vα)╞φ。

这里看一下具有m-1个量词交替的公式，最外层的量词是通用的。

∏nm-indescribable的基数以类似的方式定义。这个想法是，即使具有额外的一元谓词符号（对于A）的优势，也无法通过具有m-1次量词交替的n+1阶逻辑的任何公式将κ与较小的基数区分开来（从下面看）。

这意味着它很大，因为这意味着必须有许多具有相似属性的较小基数。

如果基数κ是∏nm，则称它是完全不可描述的——对于所有正整数m和n都难以描述。

强可展开基数：形式上，基数κ是λ不可折叠的，当且仅当对于ZFC负幂集的每个基数κ的传递模型 M，使得κ在M中并且M包含其所有长度小于κ的序列，有一个将M的非平凡初等嵌入 j到传递模型中，其中 j的临界点为κ且j(κ)≥λ。

一个基数是可展开的当且仅当它对于所有序数λ都是λ可展开的。

基数κ是强λ不可折叠的，

当且仅当对于ZFC负幂集的每个基数κ的传递模型 M使得κ在M中并且M包含其所有长度小于κ的序列，有一个非-将M的j简单基本嵌入到传递模型“N”中，其中j的临界点为κ，j(κ)≥λ，并且V(λ)是N的子集。

不失一般性，我们也可以要求N包含其所有长度为λ的序列。

可迭代基数：将基数κ定义为可迭代的，前提是κ的每个子集都包含在弱κ-模型M中，其中在κ上存在一个M-超滤器，允许通过任意长度的超幂进行有根据的迭代。

Gitman给出了一个更好的概念，其中一个基数κ被定义为α-iterable如果仅需要长度为α的超幂迭代才能有充分根据。

拉姆齐基数：让[κ]＜ω表示κ的所有有限子集的集合。如果对于每个函数，基数κ称为 Ramsey

f :[κ]＜ω→{0，1}存在基数为κ的集合A对于f是齐次的。也就是说，对于每个n，函数f在A的基数n的子集上是常数。

如果A可以被选为κ的固定子集，则基数κ被称为不可言说的Ramsey。

如果对于每个函数，基数κ实际上被称为Ramsey

f :[κ]＜ω→{0，1}存在C，它是κ的一个闭无界子集，因此对于C中具有不可数共尾性的每个λ，都存在一个与 f齐次的入的无界子集；稍微弱一点的是lamost Ramsey的概念，其中对于每个λ＜κ，需要有序类型λ的f的同质集。

可测基数：为了定义这个概念，人们在基数κ上或更一般地在任何集合上引入了一个二值度量。对于基数κ，它可以描述为将其所有子集细分为大集和小集，使得κ本身很大，?并且所有单例{α}，α∈κ很小，小集的补集很大，并且反之亦然。小于的交集κ大集又大了。

事实证明，具有二值测度的不可数基数是无法从ZFC证明其存在的大基数。

形式上，可测基数是不可数基数κ，使得在κ的幂集上存在κ加性、非平凡、0-1值测度。（这里术语k-additive意味着，对于任何序列Aα，α＜λ的基数λ＜κ，Aα是成对相交的小于κ的序数集，Aα的并集的度量等于个人Aα的措施。)

强基数：如果λ是任何序数，κ是λ-strong意味着κ是基数并且存在从宇宙V到具有临界点κ和Vλ?M

也就是说，M在初始段上与V一致。那么κ是强的意味着它对所有序数λ都是λ-强的。

伍丁基数：f :λ→λ

存在一个基数κ＜λ和{f(β)|β＜κ}和基本嵌入，j : V→M来自冯诺依曼宇宙V进入可传递的内部模型M和临界点κ和V_j(f）(κ)?M

一个等效的定义是这样的：

λ是伍丁当且仅当λ对所有λ来说都是非常难以接近的A?V_λ存在一个λ_A＜λ这是＜λ-A-strong的

超强基数：当且仅当存在基本嵌入 j：V→M从V到具有临界点κ和V_j(κ)?M

类似地，基数κ是n-超强当且仅当存在基本嵌入j : V→M从V到具有临界点κ和V_jn(κ)?M。

AkihiroKanamori已经表明，对于每个n＞0，n+1-超强基数的一致性强度超过n-huge基数的一致性强度。

强紧致基数：当且仅当每个κ-完全滤波器都可以扩展为κ-完全超滤器时，基数κ是强紧凑的。

强紧基数最初是根据无限逻辑定义的，其中允许逻辑运算符采用无限多的操作数。

常规基数κ的逻辑是通过要求每个运算符的操作数数量小于κ来定义的；那么κ是强紧致的，如果它的逻辑满足有限逻辑紧致性的模拟。

具体来说，从其他一些陈述集合中得出的陈述也应该从基数小于κ的某个子集合中得出。

强紧性意味着可测性，并被超紧性所暗示。鉴于相关基数存在，与ZFC一致的是第一个可测基数是强紧基数，或者第一个强紧基数是超紧基数；然而，这些不可能都是真的。

强紧基数的可测极限是强紧的，但至少这样的极限不是超紧的。

强紧性的一致性强度严格高于伍丁基数。

一些集合论学家推测强紧基数的存在与超紧基数的存在是等一致的。

然而，在开发出超紧基数的规范内模型理论之前，不太可能提供证明。

可扩展性是强紧凑性的二阶类比。

论外超一线门槛：Reinhardt基数是非平凡基本嵌入的临界点

j : V→V的V进入自身。

这个定义明确地引用了适当的类j.在标准ZF中，类的形式为{x|Φ(x，a)}对于某些集合a和公式Φ.

但是在 Suzuki中表明没有这样的类是基本嵌入j：V→V.

还有其他已知不一致的Reinhardt基数公式。

一是新增功能符号j用ZF的语言，连同公理说明j是的基本嵌入V，以及所有涉及的公式的分离和收集公理j.

另一种是使用类理论，如NBG或KM，它们承认在上述意义上不需要定义的类。

简单来说，反射论证j：V→M的强度会随着M的扩张而不断增强，所以在M为V时（即j：V→V）会产生这种情况下最强大的基数，即莱因哈特基数。

Berkeley基数是Zermelo-Fraenkel集合论模型中的基数κ，具有以下性质：

对于包含κ和α＜κ的每个传递集M，存在M的非平凡初等嵌入，其中α＜临界点＜κ